1次元2粒子カロジェロ・モーザー模型

1次元と言いましても，時間軸を入れると2次元です．
この場合のハミルトニアンは，次のようになります．

H=\frac{1}{2}(p_1^2+p_2^2)+(q_1-q_2)^{-2}

これはいわゆる「超可積分系」で性質がとても良いのですが，なにぶん，粒子同士が接近すると共にハミルトニアンが特異点に近づきます．
しかし，次のような線形共系変換で簡単に変数分離ができ，かつStackel系に持ち込み，全保存型差分法を用いることができます．

p_1=p_x+p_y, p_2=p_x-p_y, q_1=\frac{1}{2}(q_x+q_y), q_2=\frac{1}{2}(q_x-q_y)


この変換の結果，ハミルトニアンは次のようになります．


H=p_x^2+p_y^2-q_y^{-2}


このハミルトニアンは q_y=0にて特異点を持ちますが，ゼロハミルトニアン変換にて，特異点を持たない拡張ハミルトニアンに変換することができます．

これらの結果は高次元に拡張できるのですが．．．時間が来てしまったので，また次回に．