モンテカルロ数値積分法 - なぜか数学者にはワイン好きが多い

知り合いにレクチャーするために作っている資料です．

$\pi(x)$ を任意の（できれば性質の良い）確率密度分布， $h(x)$ はホントに任意の関数とします．
$\pi(x)$ は確率密度関数なので，全積分が一になるとかいくつかの条件があります．
そして， $h(x)$ があらゆる値を取った時に平均がどれくらいになるか知りたいとします．
これは，大量の分子運動や大量の人間の行動が最終的にどうなるか調べるときに必要になります．

定式化すると，
$I=E_\pi[h(x)]=\int h(x) \pi(x) dx$
みたいな感じです．もし $\pi(x)=1/n$ 固定なら，足してnで割った結果は単なる相加平均なので，重み付きの和のように拡張した感じです．

ここで，計算機資源を十分に使えて， $\pi(x)$ から十分のサンプルが会えられたとします．
$x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},x^{(3)},x^{(4)},\cdots,x^{(n)}$ みたく，1000でも1万でも10万でも．

そうすると，
$\tilde{I}=\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^n h(x^{(i)})$ は $I$ に収束します．